5142. Вписанная окружность касается сторон AC
и BC
треугольника ABC
в точках B_{1}
и A_{1}
соответственно. Докажите, что если AC\gt BC
, то AA_{1}\gt BB_{1}
.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно биссектрисы угла C
.
Решение. Пусть B_{2}
— точка, симметричная точке B
относительно биссектрисы угла ACB
. Тогда BB_{1}=B_{2}A_{1}
. В треугольнике AB_{2}A_{1}
\angle AB_{2}A_{1}\gt\angle AB_{2}B=180^{\circ}-\angle CB_{2}B=
=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C\gt90^{\circ}.
Следовательно, A_{1}B_{2}\lt AA_{1}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.18, с. 58
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.18, с. 363