5147. Пусть P
— точка пересечения описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника, I_{1}
— центр вневписанной окружности. Прямая, проходящая через точку I_{1}
, вторично пересекает описанную окружность в точке Q
. Докажите, что отрезок I_{1}Q
равен диаметру описанной окружности.
Указание. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника, R
— её радиус, r_{1}
— радиус вневписанной окружности. Тогда I_{a}O=R^{2}+2Rr_{1}
(см. задачу 488).
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника, R
— её радиус, r_{1}
— радиус вневписанной окружности. Тогда I_{1}O=R^{2}+2Rr_{1}
(см. задачу 488).
Через точку I_{1}
проведём касательную к описанной окружности треугольника (K
— точка касания). Тогда
r_{1}\cdot I_{1}Q=I_{1}P\cdot I_{1}Q=I_{1}K^{2}=I_{a}O^{2}-OK^{2}=(R^{2}+2Rr_{1})-R^{2}=2Rr_{1}.
Следовательно, I_{1}Q=2R
. Что и требовалось доказать.