5152. В параллелограмме BCDE
острый угол BCD
равен \alpha
, биссектриса угла BCD
пересекает сторону BE
в точке F
такой, что BF:FE=3:2
. Найдите угол между биссектрисой CF
и диагональю CE
.
Ответ. \arctg\left(\frac{1}{4}\tg\frac{\alpha}{2}\right)
.
Решение. Обозначим \angle ECF=\varphi
. Положим BF=3x
, FE=2x
. Треугольник BCF
— равнобедренный,так как
\angle BFC=\angle DCF=\angle BCF,
поэтому BC=BF=3x
. Тогда
FC=2BC\cos\angle BCF=2\cdot3x\cos\frac{\alpha}{2}=6x\cos\frac{\alpha}{2}.
Рассмотрим треугольник CEF
, в котором
EF=2x,~FC=6x\cos\frac{\alpha}{2},~\angle ECF=\varphi,~\angle CEF=\angle ECD=\angle DCF-\angle ECF=\frac{\alpha}{2}-\varphi.
По теореме синусов
\frac{FC}{\sin\angle CEF}=\frac{EF}{\sin\angle ECF},~\frac{6x\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\varphi\right)}=\frac{2x}{\sin\varphi},~\sin\varphi=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\varphi\right)}{3\cos\frac{\alpha}{2}},
3\sin\varphi=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\varphi-\cos\frac{\alpha}{2}\sin\varphi}{cos\frac{\alpha}{2}},~3\sin\varphi=\tg\frac{\alpha}{2}\cos\varphi-\sin\varphi,
откуда находим, что
4\sin\varphi=\tg\frac{\alpha}{2}\cos\varphi.
Следовательно,
\tg\varphi=\frac{1}{4}\tg\frac{\alpha}{2}\cos\varphi.