5160. В равнобедренном треугольнике ABC
(AC
— основание) высота AM=3
. Биссектриса угла C
образует с AM
угол 60^{\circ}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 3\sqrt{3}
.
Решение. Пусть биссектриса CK
пересекается с высотой AM
в точке D
. Тогда MDC
— острый угол прямоугольного треугольника MDC
,
\angle MDC=60^{\circ},~\angle ACK=\angle BCK=30^{\circ},~\angle BAC=\angle ACB=60^{\circ},
значит, треугольник ABC
— равносторонний.
BC=AC=\frac{AM}{\sin\angle ACM}=\frac{3}{\sin60^{\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot3=3\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 2006 июль, устный экзамен