5163. В треугольнике ABC
со сторонами AB=6
и BC=4
проведена биссектриса BL
, точка O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности, BO:OL=3:1
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABL
.
Ответ. 3\sqrt{\frac{3}{2}}
.
Решение. Точка O
лежит на отрезке BL
, так как центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Отрезок CO
— биссектриса треугольника BCL
, поэтому \frac{CL}{BC}=\frac{OL}{OB}=\frac{1}{3}
, значит, CL=\frac{1}{3}BC=\frac{4}{3}
. Аналогично, AL=\frac{1}{3}AB=2
.
По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (см. задачу 791)
BL^{2}=BC\cdot AB-CL\cdot AL=4\cdot6-\frac{4}{3}\cdot2=\frac{64}{3},
следовательно, BL=\frac{8}{\sqrt{3}}
.
По теореме косинусов из треугольника ABL
находим, что
\cos A=\frac{36+4-\frac{64}{9}}{2\cdot6\cdot2}=\frac{7}{9}.
Тогда
\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1-\frac{49}{81}}=\frac{4}{9}\sqrt{2}.
Следовательно, если R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABL
, то по теореме синусов
R=\frac{BL}{2\sin A}=\frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{2\cdot\frac{4}{9}\sqrt{2}}=3\sqrt{\frac{3}{2}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет глобальных процессов МГУ. — 2006 июль, № 5, вариант 1