5165. В прямой угол равнобедренного треугольника с гипотенузой 6\sqrt{2}
вписан круг радиуса 2. Найдите площадь той части круга, которая лежит вне этого треугольника.
Ответ. \pi-2
.
Решение. Пусть окружность радиуса r=2
с центром O
, вписанная в прямой угол ACB
прямоугольного равнобедренного треугольника ABC
с гипотенузой AB=6\sqrt{2}
и катетами AC=BC=6
, касается лучей CA
и CB
в точках D
и E
соответственно.
Точка O
лежит на биссектрисе угла ACB
, поэтому CO=2\sqrt{2}
, а так как четырёхугольник CDOE
— квадрат, то
CD=OE=2,~CO=2\sqrt{2},~AD=AC-CD=6-2=4.
Пусть CM
— биссектриса (а значит, высота и медиана) треугольника ABC
. Тогда CM-CO=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}
. Окружность пересекает гипотенузу AB
в некоторых точках K
и L
, причём M
— середина отрезка KL
.
Обозначим MK=LK=x
. По теореме о касательной и секущей AK\cdot AL=AD^{2}
, или (3\sqrt{2}-x)(3\sqrt{2}+x)=16
, откуда находим, что x=\sqrt{2}
. Катеты MK
и MO
прямоугольного треугольника KMO
равны, значит, \angle KOM=45^{\circ}
. Аналогично, \angle LOM=45^{\circ}
, следовательно, \angle KOL=90^{\circ}
.
Пусть искомая площадь равна S
, а площадь сектора KOL
равна S_{1}
. Тогда
S=S_{1}-S_{\triangle KOL}=\frac{1}{4}\pi r^{2}-\frac{1}{2}OK\cdot OL=\frac{1}{4}\pi\cdot4-\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=\pi-2.
Источник: Вступительный экзамен на факультет государственного управления МГУ. — 2006 июль, № 3, вариант 1