5167. Треугольник ABC
, длины сторон которого образуют арифметическую прогрессию, вписан в окружность радиуса \frac{14}{\sqrt{3}}
. Найдите периметр треугольника, если он меньше 40 и AC=14
.
Ответ. 30.
Решение. Пусть d\geqslant0
— разность прогрессии, а средняя по величине сторона треугольника равна a
. Тогда длины сторон треугольника равны a-d
, a
, a+d
, их сумма равна 3a
, а так как 3a\lt40
, то a\lt\frac{40}{3}\lt14
. Следовательно, AC=14
— наибольшая сторона треугольника ABC
. Тогда остальные стороны равны 14-d
и 14-2d
.
Пусть R=\frac{14}{\sqrt{3}}
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. По теореме синусов
\sin\angle ABC=\frac{AC}{2R}=\frac{14}{2\cdot\frac{14}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
значит, либо \angle ABC=60^{\circ}
, либо \angle ABC=120^{\circ}
.
В первом из этих случаев по теореме косинусов
14^{2}=(14-d)^{2}+(14-2d)^{2}-(14-d)(14-2d),
или 3d^{2}-42d=0
, откуда находим, что d=0
или d=14
, что противоречит условию задачи.
Во втором случае по теореме косинусов
14^{2}=(14-d)^{2}+(14-2d)^{2}+(14-d)(14-2d),
или d^{2}-18d+56=0
, откуда находим, что d=14
или d=4
. Условию задачи удовлетворяет только d=4
. Следовательно, периметр треугольника ABC
равен
14+(14-d)+(14-2d)=14+(14-4)+(14-8)=30.
Источник: Вступительный экзамен в московскую школу экономики МГУ. — 2006 июль, № 6, вариант 1