5173. Окружность радиуса 6 проходит через вершину B
треугольника ABC
и пересекает его стороны AB
и BC
в точках E
и F
соответственно. Центр O
окружности лежит на стороне AC
, AO=12
, CO=10
, \angle OBC=\angle BCO+\angle EOA
. В каком отношении прямая BO
делит отрезок EF
? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 6:5
, 13
.
Решение. Обозначим \angle EAO=\alpha
, \angle BCO=\gamma
. Тогда \angle OBC=\angle BCO+\angle EOA=\gamma+\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOB=(\alpha+\gamma)+\gamma=2\gamma+\alpha,
поэтому
\angle BOE=\angle AOB-\angle EOA=2\gamma+\alpha-\alpha=2\gamma.
Вписанный угол BFE
равен половине центрального угла BOE
, т. е.
\angle BFE=\frac{1}{2}\angle BOE=\gamma=\angle BCO,
значит, EF\parallel AC
.
Пусть отрезки BO
и EF
пересекаются в точке G
. Треугольник BGE
подобен треугольнику BOA
с коэффициентом \frac{BG}{BO}=k
, а треугольник BGF
— треугольнику BOC
с тем же коэффициентом. Следовательно,
\frac{EG}{GF}=\frac{k\cdot OA}{k\cdot OC}=\frac{OA}{OC}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}.
Продолжим радиус BO
до пересечения с окружностью в точке H
. Тогда
OH=12,~BG=kBO=6k,~GH=12-6k,~EG=kAO=12k,~GF=kOC=10k.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд BG\cdot GH=EG\cdot GF
, или 6k(12-6k)=12k\cdot10k
, откуда находим, что k=\frac{6}{13}
.
Треугольник ABC
подобен треугольнику EBF
с коэффициентом \frac{1}{k}
, поэтому радиус R
описанной окружности треугольника ABC
равен радиусу описанной окружности треугольника EFB
, умноженному на коэффициент подобия, т. е.
R=6\cdot\frac{1}{k}=6\cdot\frac{13}{6}=13.