5175. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC
по его высотам CH=5
, BK=6
и медиане AM=4
.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Опустим перпендикуляры MP
и MQ
на прямые AB
и AC
соответственно. Тогда MP
и MQ
— средние линии треугольников BCH
и BCK
. Поэтому
MP=\frac{1}{2}CH=\frac{5}{2},~MQ=\frac{1}{2}BK=3.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Построим прямоугольные треугольники APM
и AQM
(по катету и гипотенузе). Если точки P
и Q
окажутся по разные стороны от прямой AM
(рис. 1), то через точку M
проведём прямую, отрезок которой, заключённый внутри угла PAQ
, делился бы точкой M
пополам.
Для этого отложим на продолжении отрезка AM
за точку M
отрезок MN
, равный MA
, и через точку N
проведём прямую, параллельную AP
. Пусть эта прямая пересекает луч AQ
в точке C
, а прямая CM
пересекает луч AP
в точке B
. Поскольку треугольники BMN
и CMA
равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), то BM=CM
, т. е. AM
— медиана треугольника ABC
.
Если же точки P
и Q
окажутся по одну сторону от прямой AM
(рис. 2), то луч AP
проходит между сторонами угла MAQ
. Тогда точка M
окажется внутри угла Q'AQ
(точка Q'
лежит на продолжении отрезка QA
за точку A
). Через точку M
проведём прямую, отрезок которой, заключённый внутри угла PAQ'
, делился бы точкой M
пополам. Получим второе решение.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2007 июль, устный экзамен