5181. Прямая, проходящая через точку A
, пересекает окружность в точках B
и C
(точка B
лежит между точками A
и C
). Другая прямая, проходящая через точку A
, пересекает окружность в точках D
и E
(точка D
лежит между точками A
и E
). Продолжения отрезка BD
за точку D
и отрезка CE
за точку E
пересекаются в точке F
, FE=1
, AC=2AE
. Найдите FD
.
Ответ. 2.
Решение. Обозначим \angle FDE=\alpha
, \angle DEF=\beta
. Тогда \angle AEC=180^{\circ}-\beta
, а по свойству вписанного четырёхугольника
\angle ACE=\angle BCE=180^{\circ}-\angle BDE=\angle FDE=\alpha.
Применяя теорему синусов к треугольникам DEF
и ACE
, получим, что
\frac{FD}{\sin\beta}=\frac{FE}{\sin\alpha},~\frac{AE}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{AC}{\sin\beta},
поэтому \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{AE}=2
. Следовательно,
FD=FE\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=1\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=2.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 2006, № 4, вариант 1