5187. В параллелограмме ABCD
проведена диагональ AC
. Точка O
является центром окружности, вписанной в треугольник ABC
. Расстояния от точки O
до точки A
и прямых AD
и AC
соответственно равны 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма ABCD
.
Ответ. 672
.
Решение. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AB
, BC
и AC
в точках M
, L
и K
соответственно, N
— проекция точки O
на прямую AD
(точка N
может лежать либо на стороне AD
, либо на её продолжении). Тогда OL=OK=6
, точки O
, L
и N
лежат на одной прямой, NL
— высота параллелограмма ABCD
, NL=OL+ON=6+8=14
.
Из прямоугольного треугольника AOK
находим, что
AK=\sqrt{OA^{2}-OK^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
Пусть p
и S
— полупериметр и площадь треугольника ABC
, r=6
— радиус вписанной окружности. Тогда
p=AK+CL+BM=AK+CL+BL=AK+BC=8+BC,
S=\frac{1}{2}BC\cdot NL=\frac{1}{2}BC\cdot14=7BC,~S=p\cdot r=6(8+BC).
Из уравнения 7BC=6(8+BC)
находим, что BC=48
. Следовательно,
S_{ABCD}=2S=2\cdot pr=2\cdot56\cdot6=672.