5191. На стороне AB
угла ABC
, равного 30^{\circ}
, взята такая точка D
, что AD=2
и BD=1
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и касающейся прямой BC
.
Ответ. 1 или 7.
Решение. Первый способ. Пусть окружность касается прямой BC
в точке P
. Рассмотрим случай, когда точка P
лежит на луче BC
(рис. 1).
Пусть E
— середина AD
, F
— проекция точки E
на прямую BC
. Из прямоугольного треугольника BFE
находим, что
EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}\cdot2=1,~BF=\sqrt{3}.
По теореме о касательной и секущей
BP=\sqrt{AB\cdot BD}=\sqrt{3\cdot1}=\sqrt{3}=BF,
значит, точка F
совпадает с точкой P
, а так как EA=ED=EF=EP=1
, то E
— центр окружности радиуса 1, проходящей через точки A
, D
и касающейся луча BC
в точке P
.
Пусть теперь точка P
лежит на луче, дополнительном к лучу BC
(рис. 2), O
— центр окружности, M
— точка пересечения продолжения радиуса OP
с прямой AB
. Аналогично предыдущему случаю получим, что EF=1
и BP=BF=\sqrt{3}
. Прямоугольные треугольники BPM
и BFE
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому BM=BE=2
и PM=FE=1
, а так как OE\perp AD
, то треугольник OEM
— прямоугольный, причём \angle OME=60^{\circ}
. Следовательно, OM=2ME=8
, OP=OM-PM=8-1=7
.
Второй способ. Пусть окружность касается прямой BC
в точке P
. Рассмотрим случай, когда точка P
лежит на луче BC
(рис. 1).
По теореме о касательной и секущей
BP=\sqrt{AB\cdot BD}=\sqrt{3\cdot1}=\sqrt{3}.
По теореме косинусов
DP=\sqrt{BD^{2}+BP^{2}-2BD\cdot BP\cos30^{\circ}}=\sqrt{1+3-2\cdot1\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=1,
значит, треугольник BDP
— равнобедренный, \angle BPD=\angle PBD=30^{\circ}
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle DAP=\angle BPD=30^{\circ}.
Тогда, если R
— искомый радиус, то по теореме синусов
R=\frac{DP}{2\sin\angle30^{\circ}}=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}=1.
Пусть теперь точка P
лежит на луче, дополнительном к лучу BC
(рис. 2), O
— центр окружности, R
— её радиус.
Аналогично предыдущему случаю получим, что
BP=\sqrt{3},~DP=\sqrt{BD^{2}+BP^{2}-2BD\cdot BP\cos150^{\circ}}=\sqrt{1+3+2\cdot1\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{7}.
По теореме синусов \frac{DP}{\sin150^{\circ}}=\frac{BD}{\sin\angle BPD}
, откуда
\sin\angle BPD=\frac{BD\sin150^{\circ}}{DP}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{1}{2\sqrt{7}},
а так как \angle DEP=\angle BPD
, то
R=\frac{DP}{2\sin\angle DEP}=\frac{DP}{2\sin\angle BPD}=\frac{\sqrt{7}}{2\cdot\frac{1}{2\sqrt{7}}}=7.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2006, (заочный тур), № 3