5195. На основании
AC
равнобедренного треугольника
ABC
взята точка
E
, а на боковых сторонах
AB
и
BC
точки
D
и
F
так, что
DE\parallel BC
и
EF\parallel AB
. Какую часть площади треугольника
ABC
занимает площадь треугольника
DEF
, если
BF:EF=2:3
?
Ответ.
\frac{6}{25}
.
Решение. Четырёхугольник
BFED
— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Поэтому
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle BEF}
.
Положим
BF=2x
,
EF=3x
. Тогда
DE=BF=2x
и
CF=EF=3x
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{BF}=\frac{3}{2}
, следовательно,
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle BEF}=\frac{BF}{BC}S_{\triangle BEC}=\frac{BF}{BC}\cdot\frac{CE}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}S_{\triangle ABC}=\frac{6}{25}S_{\triangle ABC}.

Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2010, вариант 1, № 2
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А., Горяшин Д. В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2011). — М.: МЦНМО, 2011. — с. 57
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 22