5198. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке K
. Хорда AB
большей окружности касается меньшей окружности в точке L
, причём AL=10
. Найдите BL
, если AK:BK=2:5
.
Ответ. 25.
Решение. Первый способ. Проведём через точку K
общую касательную MN
к окружностям (точки A
и M
лежат по одну сторону от прямой KL
, а точки A
и N
— по разные). Пусть отрезки KA
и KB
вторично пересекают меньшую окружность в точках P
и Q
соответственно, X
— точка на меньшей дуге KP
меньшей окружности, Y
— точка на меньшей дуге KA
большей окружности.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle KQP=\frac{1}{2}\smile KXP=\angle AKM=\frac{1}{2}\smile AYK=\angle ABK,
значит, PQ\parallel AB
. Поэтому точка L
середина дуги PLQ
меньшей окружности. Следовательно, KL
— биссектриса треугольника AKB
.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{BL}{AL}=\frac{KB}{KA}
, откуда находим, что
BL=\frac{KB}{KA}\cdot{AL}=\frac{5}{2}\cdot10=25.
Второй способ. При гомотетии с центром K
, переводящей меньшую окружность в большую, касательная AB
к меньшей окружности переходит в параллельную ей касательную к большей окружности, а точка касания L
— в точку касания T
, значит, точки K
, L
и T
лежат на одной прямой, причём T
— середина содержащейся внутри угла AKB
меньшей дуги большей окружности.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{BL}{AL}=\frac{KB}{KA}
, откуда находим, что
BL=\frac{KB}{KA}\cdot{AL}=\frac{5}{2}\cdot10=25.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2010-2011 (заключительный этап), вариант 1, № 5
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А., Горяшин Д. В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2011). — М.: МЦНМО, 2011. — с. 68
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 25