5201. В треугольнике PQR
сторона PQ
не больше, чем 9, сторона PR
не больше, чем 12. Площадь треугольника не меньше, чем 54. Найдите его медиану, проведённую из вершины P
.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Указание. Пользуясь формулой S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\angle C
, докажите, что площадь треугольника равна 54, а его стороны AC
и BC
равны 9 и 12.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника PQR
, PM
— его медиана, \alpha
— угол при вершине P
. Тогда
54~\leqslant~S=\frac{1}{2}PQ\cdot PR\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}\cdot9\cdot12\cdot\sin\alpha=54\sin\alpha~\leqslant~54.
Это возможно лишь в случае, когда S=54
, PQ=9
, PR=12
, \alpha=90^{\circ}
. При этом треугольник PQR
прямоугольный, поэтому
QR=\sqrt{PQ^{2}+PR^{2}}=\sqrt{81+144}=15.
Следовательно, PM={1}{2}QR=\frac{15}{2}
.