5202. Диагонали трапеции ABCD
пересекаются в точке O
. Описанные окружности треугольников AOB
и COD
пересекаются в точке M
на основании AD
. Докажите, что треугольник BMC
равнобедренный.
Решение. Первый способ. Вписанные углы MBO
и MAO
опираются на одну и ту же дугу, а прямые BC
и AD
параллельны, значит,
\angle MBD=\angle MBO=\angle MAO=\angle MAC=\angle BCO.
Аналогично, \angle MCA=\angle CBO
. Тогда
\angle MBC=\angle MBD+\angle CBO=\angle BCO+\angle MCA=\angle MCB.
Следовательно, BMC
равнобедренный, MB=MC
.
Второй способ. Доказываемое утверждение следует также из равенств
\angle CBM=\angle BMA=\angle BOA=\angle COD=\angle CMD=\angle BCM.