5203. Высоты остроугольного треугольника ABC
, проведённые из вершин B
и C
, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B_{1}
и C_{1}
. Оказалось, что отрезок B_{1}C_{1}
проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть BB_{2}
, CC_{2}
и AP
— высоты треугольника ABC
. Тогда
\angle BAC_{1}=\angle BCC_{1}=\angle BCC_{2}=\angle BAP.
Аналогично докажем, что \angle CAB_{1}=\angle CAP
, значит, лучи AB
и AC
— биссектрисы углов PAC_{1}
и PAB_{1}
, а так как точка A
лежит на окружности с диаметром B_{1}C_{1}
, то \angle B_{1}AC_{1}=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\frac{1}{2}\angle B_{1}AC_{1}=45^{\circ}.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2008, LXXI, окружной этап, 9 класс
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011, октябрь, школьный этап, № 5, 10-11 кл.