5204. Может ли центр описанной окружности треугольника совпадать с центром одной из вневписанных окружностей этого треугольника?
Ответ. Нет.
Решение. Предположим, что центр O
описанной окружности треугольника ABC
совпадает с центром его вневписанной окружности, касающейся стороны BC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Поскольку центр вневписанной окружности лежит вне треугольника, точки A
и O
расположены по разные стороны от прямой BC
, а так как BOC
— центральный угол описанной окружности треугольника ABC
, то
\angle BOC=\smile BAC=360^{\circ}-2\angle BAC=360^{\circ}-2\alpha.
С другой стороны, так как O
— центр вневписанной окружности треугольника, то BO
и CO
— биссектрисы внешних углов треугольника ABC
, поэтому \angle BOC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Из равенства 360^{\circ}-2\alpha=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
следует, что \alpha=180^{\circ}
, что невозможно.