5205. На стороне AB
треугольника ABC
отмечена точка K
. Отрезок CK
пересекает медиану AM
треугольника в точке P
. Оказалось, что AK=AP
. Найдите отношение BK:PM
.
Ответ. 2
.
Указание. Через середину стороны BC
проведите прямую, параллельную CK
.
Решение. Через середину M
стороны BC
проведём прямую, параллельную CK
. Эта прямая пересекает отрезок BK
в его середине D
(по теореме Фалеса). Обозначим DK=BD=a
.
Треугольник APK
— равнобедренный, значит, треугольник AMD
— также равнобедренный. Поэтому
PM=AM-AP=AD-AK=DK=a.
Следовательно,
\frac{BK}{PM}=\frac{2a}{a}=2.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2010, 8 кл.
Источник: Турнир городов. — 2009-2010, XXXI, весенний тур, младшие классы, основной вариант
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011-12 г., окружной тур, 8 кл.