5207. В трапеции ABCD
основание AD
в четыре раза больше, чем BC
. Прямая, проходящая через середину диагонали BD
и параллельная AB
, пересекает отрезок CD
в точке K
. Найдите отношение DK:KC
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Пусть прямая, проходящая через середину P
диагонали BD
параллельно AB
, пересекает прямые BC
и AD
в точках L
и N
соответственно. Из равенства треугольников BPL
и DPN
следует, что BL=DN
, а так как ABLN
параллелограмм, то AN=BL=DN
, значит, N
— середина основания AD
.
Обозначим BC=a
. Тогда
AD=4a,~BL=AN=DN=\frac{1}{2}AD=2a,~CL=BL-BC=2a-a=a.
Треугольник DKN
подобен треугольнику CKL
с коэффициентом \frac{DN}{CL}=\frac{2a}{a}=2
, следовательно, \frac{DK}{KC}=2
.
Второй способ. Пусть прямая, проходящая через середину P
диагонали BD
параллельно AB
, пересекает прямые BC
и AD
в точках L
и N
соответственно. Из равенства треугольников BPL
и DPN
следует, что BL=DN
, а так как ABLN
параллелограмм, то AN=BL=DN
, значит, N
— середина основания AD
.
Обозначим BC=a
. Тогда
AD=4a,~BL=AN=DN=\frac{1}{2}AD=2a,~CL=BL-BC=2a-a=a,
поэтому C
— середина стороны BL
треугольника DBL
, а K
— точка пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, \frac{DK}{KC}=2
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011-12 г., окружной тур, 9 кл.