5211. В равнобедренном треугольнике LMN
проведена биссектриса MO
. Найдите величину угла LOM
, если MN=MO+LO
.
Ответ. 72^{\circ}
или 60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть основание равнобедренного треугольника LMN
— это сторона NL
. Тогда биссектриса MO
является медианой и высотой, поэтому MO+LO=MO+NO\gt MN
, что противоречит условию.
Пусть основание равнобедренного треугольника LMN
— это сторона ML
. Тогда точка O
лежит на боковой стороне NL
и NL=MN=MO+LO
, откуда MO=ON
Обозначим \angle LMN=\angle MLN=\beta
. Тогда \angle LNM=\angle ONM=\angle NMO=\frac{\beta}{2}
. По теореме о сумме углов треугольника \frac{\beta}{2}+\beta+\beta=180^{\circ}
, откуда находим, что \beta=72^{\circ}
. Следовательно,
\angle LOM=\angle ONM+\angle NMO=\frac{\beta}{2}+\frac{\beta}{2}=\beta=72^{\circ}.
Пусть основание равнобедренного треугольника LMN
— это сторона MN
, P
— точка пересечения с основанием MN
серединного перпендикуляра к отрезку ON
. Тогда PO=PN
, и равнобедренный треугольник PON
подобен равнобедренному треугольнику LMN
по двум углам. Значит, \frac{NP}{ON}=\frac{LM}{MN}
. С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника \frac{LM}{MN}=\frac{LO}{ON}
, поэтому \frac{NP}{ON}=\frac{LO}{ON}
. Следовательно, LO=NP
, а так как MN=MO+LO
и MN=MP+NP
, то MO=MP
, т. е. треугольник OMP
— равнобедренный.
Положим \angle LMN=\angle LNM=2\alpha
. Тогда
\angle OMP=\alpha,~\angle MPO=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
а так как по теореме о внешнем угле треугольника \angle MPO=\angle PON+\angle PNO=2\alpha+2\alpha=4\alpha
, то 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=4\alpha
, откуда находим, что \alpha=20^{\circ}
. Следовательно,
\angle LOM=\angle OMN+\angle ONM=\alpha+2\alpha=3\alpha=60^{\circ}.
Второй способ. Пусть основание равнобедренного треугольника LMN
— это сторона NL
. Тогда биссектриса MO
является медианой и высотой, поэтому MO+LO=MO+NO\gt MN
, что противоречит условию.
Пусть основание равнобедренного треугольника LMN
— это сторона ML
. Тогда точка O
лежит на боковой стороне NL
и NL=MN=MO+LO
, откуда MO=ON
Обозначим \angle LMN=\angle MLN=\beta
. Тогда \angle LNM=\angle ONM=\angle NMO=\frac{\beta}{2}
. По теореме о сумме углов треугольника \frac{\beta}{2}+\beta+\beta=180^{\circ}
, откуда находим, что \beta=72^{\circ}
. Следовательно,
\angle LOM=\angle ONM+\angle NMO=\frac{\beta}{2}+\frac{\beta}{2}=\beta=72^{\circ}.
Пусть основание равнобедренного треугольника LMN
— это сторона MN
. Положим \angle LOM=3\alpha
, MO=x
, LO=y
, \angle LMN=\angle LNM=\beta
. Тогда
MN=MO+LO=x+y,~\angle OMN=\frac{1}{2}\angle LMN=\beta,~\angle MLN=180^{\circ}-2\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника \angle OMN+\angle ONM=\angle LOM
, или \frac{\beta}{2}+\beta=3\alpha
, откуда находим, что \beta=2\alpha
.
По теореме синусов
\frac{OL}{OM}=\frac{\sin\angle OML}{\sin\angle OLM},~~\frac{y}{x}=\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin(180^{\circ}-2\beta)}=\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin2\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin4\alpha},
\frac{MN}{MO}=\frac{\sin\angle MON}{\sin\angle MNO},~~\frac{x+y}{x}=\frac{\sin3\alpha}{\sin2\alpha},~~1+\frac{y}{x}=\frac{\sin3\alpha}{\sin2\alpha},~~\frac{y}{x}=\frac{\sin3\alpha}{\sin2\alpha}-1=\frac{\sin3\alpha-\sin2\alpha}{\sin2\alpha}.
Поэтому
\frac{\sin\alpha}{\sin4\alpha}=\frac{\sin3\alpha-\sin2\alpha}{\sin2\alpha},~\frac{\sin\alpha}{2\cos2\alpha}=\sin3\alpha-\sin2\alpha,~\sin\alpha=2\sin3\alpha\cos2\alpha-2\sin2\alpha\cos2\alpha,
\sin\alpha=\sin5\alpha+\sin\alpha-\sin4\alpha,~\sin5\alpha=\sin4\alpha,
а так как 5\alpha\ne4\alpha
, то 5\alpha+4\alpha=180^{\circ}
, откуда находим, что \alpha=20^{\circ}
. Следовательно, \angle LOM=3\alpha=60^{\circ}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2012, заочный тур