5215. На стороне AC
треугольника ABC
отметили произвольную точку D
. Пусть E
и F
— точки, симметричные точке D
относительно биссектрис углов A
и C
соответственно. Докажите, что середина отрезка EF
лежит на прямой A_{0}C_{0}
, где A_{0}
и C_{0}
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC
и AB
соответственно.
Решение. Пусть B_{0}
— точка касания со стороной AC
вписанной окружности треугольника ABC
. Рассмотрим случай, когда точка D
лежит между B_{0}
и C
.
Точка E
симметрична точке D
относительно биссектрисы угла A
, поэтому AE=AD
. Кроме того, AC_{0}=AB_{0}
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, значит, EC_{0}=DB_{0}
, а точка E
на продолжении AC_{0}
за точку C_{0}
. Аналогично FA_{0}=DB_{0}
, а точка F
лежит на отрезке CA_{0}
. Следовательно, EC_{0}=FA_{0}
.
Через точку F
проведём прямую, параллельную стороне AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой A_{0}C_{0}
в точке P
. Тогда треугольник FA_{0}P
подобен равнобедренному треугольнику BA_{0}C_{0}
, поэтому FP=FA_{0}=EC_{0}
, а так как FP\parallel EC_{0}
, то EC_{0}FP
— параллелограмм. Следовательно, его диагональ EF
делится диагональю PC_{0}
пополам, т. е. середина отрезка EF
лежит на прямой A_{0}C_{0}
. Аналогично для остальных случаев.