5216. Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася — значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Петей, оказаться различными?
Ответ. Не могут.
Решение. Предположим, что все выписанные Петей числа различны. Тогда все углы \alpha
, \beta
, \gamma
, \delta
и \epsilon
пятиугольника различны. Каждый из них лежит на интервале (0;\pi)
.
Заметим, что у выписанных Петей чисел не может быть трёх равных, так как на интервале (0;\pi)
нет трёх различных углов с равными синусами. Значит, среди выписанных Петей чисел есть ровно две пары равных.
Пусть \sin\alpha=\sin\beta
и \sin\gamma=\sin\delta
. Тогда \alpha+\beta=\pi
и \gamma+\delta=\pi
, а так как сумма углов пятиугольника равна \pi(5-2)=3\pi
, то
\epsilon=3\pi-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=3\pi-2\pi=\pi,
что невозможно.
Автор: Агаханов Н. Х.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011-2012, XXXVIII, региональный этап, 10 класс