5217. В трапеции ABCD
боковая сторона CD
перпендикулярна основаниям, O
— точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника OCD
взята точка S
, диаметрально противоположная точке O
. Докажите, что \angle BSC=\angle ASD
.
Решение. Точки C
и D
лежат на окружности с диаметром OS
, поэтому \angle ACS=\angle OCS=90^{\circ}
и \angle BDS=\angle ODS=90^{\circ}
.
Докажем подобие прямоугольных треугольников ACS
и BDS
. Отсюда будет следовать равенство углов ASC
и BSD
, а значит, и углов ASD
и BSC
(угол ASB
— общая часть этих углов).
Обозначим \angle ACD=\alpha
, \angle BDC=\beta
. Из прямоугольных треугольников ACD
и DBC
находим, что AC=\frac{CD}{\cos\alpha}
, AC=\frac{CD}{\cos\beta}
, значит,
\frac{AC}{BD}=\frac{\frac{CD}{\cos\alpha}}{\frac{CD}{\cos\beta}}=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\frac{\sin(90^{\circ}-\beta)}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}=\frac{\sin\angle SCD}{\sin\angle SDC}=\frac{SD}{SC}.
Следовательно, прямоугольные треугольники ACS
и BDS
подобны. Что и требовалось доказать.
Автор: Шмаров В. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011-2012, XXXVIII, региональный этап, 10 класс