5218. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF
. Известно, что \angle FAE=\angle BDC
, а четырёхугольники ABDF
и ACDE
являются вписанными. Докажите, что прямые BF
и CE
параллельны.
Решение. Пусть S_{1}
и S_{2}
— окружности, описанные около четырёхугольников ABDF
и ACDE
соответственно. Вписанные в окружность S_{1}
углы AFB
и ADB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AFB=\angle ADB
.
Вписанные в окружность S_{2}
углы ADC
и AEC
также опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADC=\angle AEC
.
Обозначим \angle FAE=\angle BDC=\alpha
, \angle AFB=\angle ADB=\beta
. Тогда
\angle AEC=\angle ADC=\angle BDC+\angle ADB=\alpha+\beta.
Пусть прямые AE
и BF
пересекаются в точке K
. Тогда AKB
— внешний угол треугольника AKF
, поэтому
\angle AKB=\angle FAE+\angle AFB=\alpha+\beta=\angle AEC.
Следовательно, BF\parallel CE
.
Автор: Акопян А. В.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011-2012, XXXVIII, региональный этап, 10 класс