5219. Через точку, взятую внутри прямоугольника, параллельно его сторонам проведены прямые, разбивающие прямоугольник на четыре прямоугольника. Площади трёх из них равны a
, b
и c
. Найдите площадь четвёртого, не имеющего общей стороны со вторым.
Ответ. \frac{ac}{b}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая параллельно AD
через точку O
, взятую внутри прямоугольника ABCD
, пересекает стороны AB
и CD
в точках K
и M
соответственно, а прямая, проведённая через точку O
параллельно BC
, пересекает стороны BC
и AD
в точках L
и N
соответственно, причём
S_{AKON}=a,~S_{BLOK}=b,~S_{CMON}=c.
Обозначим
S_{DNOM}=d,~AK=x,~KB=y,~BL=z,~LC=t.
Тогда
ac=xz\cdot yt=yz\cdot xt=bd,
откуда d=\frac{ac}{b}
.