5221. Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. 4 или \frac{260}{59}
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC=26
, BC=20
. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Тогда H
— середина BC
.
Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13},~\sin\alpha=\frac{12}{13},~\tg\alpha=\frac{12}{5}.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
и касается основания BC
в точке N
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается основания BC
в точке M
, а первой окружности — в точке D
(рис. 1).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
\angle O_{2}BM=\frac{\alpha}{2},~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{12}{13}}{1+\frac{5}{13}}=\frac{2}{3}.
Из прямоугольного треугольника BMO_{2}
находим, что
BM=O_{2}M\ctg\angle MBO_{2}=r\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{2}r.
Тогда CN=BM=\frac{3}{2}r
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O_{1}O_{2}=O_{1}D+DO_{2}=2r
, значит, MN=O_{1}O_{2}=2r
, поскольку O_{1}O_{2}MN
— прямоугольник. Следовательно,
20=BC=BM+MN+CN=BM+MN+BM=\frac{3}{2}r+2r+\frac{3}{2}r=5r,
откуда находим, что r=4
.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
и касается боковой стороны AB
в точке P
, вторая окружность радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается боковой стороны AB
в точке Q
, а также касается первой окружности (рис. 2).
Из прямоугольных треугольников APO_{1}
и BQO_{2}
находим, что
AP=O_{1}P\ctg\angle PAO_{1}=r\tg\alpha=\frac{12}{5}r,
BQ=O_{2}Q\ctg\angle QBO_{2}=r\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{2}r.
Следовательно,
26=AB=AP+PQ+BQ=AP+O_{1}O_{2}+QB=\frac{12}{5}r+2r+\frac{3}{2}r,
откуда находим, что r=\frac{260}{59}
.
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC
и ACB
, получим тот же результат.
Второй способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC=26
, BC=20
. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Тогда H
— середина BC
. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что AH=24
.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 3).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи BO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы углов треугольника. Точка их пересечения O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Пусть d
— радиус этой окружности. Тогда
d=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB+AC+BC}=\frac{20\cdot24}{26+26+20}=\frac{20}{3}.
Треугольники O_{1}OO_{2}
и BOC
подобны, поэтому их высоты OP
и OH
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и BC
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{BC}
, или \frac{\frac{20}{3}-r}{\frac{20}{3}}=\frac{2r}{20}
. Отсюда находим, что r=4
.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
, а вторая окружность того же радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 4).
Треугольники O_{1}OO_{2}
и AOB
подобны, поэтому их высоты OQ
и OF
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и AB
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{AB}
, или \frac{\frac{20}{3}-r}{\frac{20}{3}}=\frac{2r}{26}
. Отсюда находим, что r=\frac{260}{59}
.
