5237. На прямой, содержащей биссектрису AD
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
, взята точка E
, удалённая от вершины A
на расстояние, равное \sqrt{26}
. Найдите площадь треугольника BCE
, если BC=5
, AC=12
.
Ответ. 17{,}5
или 42{,}5
.
Решение. По теореме Пифагора AB=13
. Пусть точка E
лежит на луче AD
. Биссектриса AD
длиннее катета AC
, AE\lt AC
, поэтому AD
длиннее AE
и точка E
лежит внутри треугольника ABC
(рис. 1).
Опустим из точки E
перпендикуляр EF
на прямую AC
и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники AFE
и ACD
. Точка D
делит BC
на отрезки, пропорциональные AB
и AC
. Поэтому
DC=\frac{AC\cdot BC}{AC+AB}=\frac{12}{5},~AD=\sqrt{AC^{2}+DC^{2}}=\frac{12}{5}\sqrt{26}.
Из подобия треугольников AEF
и ADC
находим, что
AF=\frac{AE}{AD}\cdot AC=5.
Следовательно, CF=AC-AF=7
. Тогда
S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC\cdot CF=17{,}5.
Пусть теперь точка A
лежит между E
и D
(рис. 2). В этом случае CF=AC+AF=17
. Тогда
S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC\cdot CF=42{,}5.
Источник: ЕГЭ. — 2012 г., задача C4, вариант 18