5239. Основания трапеции равны a
и b
. На боковых сторонах взяты точки M
и N
, причём прямая MN
параллельна основаниям, а отрезок MN
делится диагоналями в отношении 1:3:1
. Найдите MN
.
Ответ. \frac{5ab}{4a+b}
или \frac{5ab}{a+4b}
.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на боковых сторонах соответственно AB
и CD
трапеции ABCD
с основаниями BC=a
и AD=b
, а прямая MN
пересекается с диагоналями AC
и BD
в точках P
и Q
. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O
.
Рассмотрим случай, когда точка P
лежит на AC
между A
и O
(рис. 1). Положим MP=QN=x
, PQ=3x
. Треугольник CPN
подобен треугольнику CAD
по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{CP}{AC}=\frac{PN}{AD}=\frac{4x}{b}
. Тогда \frac{AP}{AC}=\frac{b-4x}{b}
.
Треугольник AMP
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AP}{AC}=\frac{x}{a}
. Из уравнения \frac{b-4x}{b}=\frac{x}{a}
находим, что x=\frac{ab}{4a+b}
. Следовательно, MN=5x=\frac{5ab}{4a+b}
.
Если же точка P
лежит на BD
между O
и B
(рис. 2), то аналогично находим, что MN=\frac{5ab}{a+4b}
.