5252. Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно касаются в точке A
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает меньшую окружность в точке B
, а большую — в точке C
. Какие значения может принимать диаметр окружности, касающейся прямых O_{1}B
и O_{2}C
, если \angle ABO_{1}=15^{\circ}
?
Ответ. 4 или 1.
Решение. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки A
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой.
Пусть окружности касаются внешним образом (рис. 1). Тогда точка A
лежит между точками O_{1}
и O_{2}
,
\angle ACO_{2}=\angle CAO_{2}=\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1},
значит, O_{1}B\parallel O_{2}C
. Диаметр окружности, касающейся параллельных прямых O_{1}B
и O_{2}C
, равен расстоянию между ними. Пусть D
— проекция точки O_{1}
на прямую O_{2}C
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle O_{1}O_{2}D=\angle ACO_{2}+\angle CAO_{2}=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника O_{1}DO_{2}
находим, что
O_{1}D=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=\frac{1}{2}(AO_{1}+AO_{2})=\frac{1}{2}(3+5)=4.
Следовательно, искомый диаметр равен 4.
Если окружности касаются внутренним образом (рис. 2), то аналогично находим, что
O_{1}D=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=\frac{1}{2}(AO_{2}-AO_{1})=\frac{1}{2}(5-3)=1.
Следовательно, искомый диаметр равен 1.