5253. Окружности радиусов 1 и 3 с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно касаются внешним образом в точке C
, O_{1}A
и O_{2}B
— параллельные радиусы этих окружностей, причём \angle AO_{1}O_{2}=60^{\circ}
. Найдите AB
.
Ответ. 4 или 2\sqrt{7}
.
Решение. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки C
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой, причём точка C
расположена между O_{1}
и O_{2}
.
Пусть точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой O_{1}O_{2}
(рис. 1). Треугольники AO_{1}C
и BO_{2}C
— равносторонние, поэтому \angle ACO_{1}=60^{\circ}=\angle BCO_{2}
, значит, точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, причём точка C
расположена между A
и B
. Следовательно,
AB=AC+CB=1+3=4.
Пусть теперь точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
(рис. 2). Через точку A
параллельно O_{1}O_{2}
проведём прямую. Если F
— точка её пересечения с прямой O_{2}B
, то O_{1}AFO_{2}
— параллелограмм, поэтому
AF=O_{1}O_{2}=O_{1}C+O_{2}C=1+3=4,~\angle AFB=\angle O_{1}O_{2}B=120^{\circ},
BF=O_{2}B-O_{2}F=O_{2}B-O_{1}A=3-1=2.
Следовательно,
AB=\sqrt{BF^{2}+AF^{2}-2BF\cdot AF\cos120^{\circ}}=\sqrt{4+16+8}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.