5254. Окружности радиусов 3\sqrt{3}
и 7\sqrt{3}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно касаются в точке L
. Прямая, проходящая через точку L
, вторично пересекает меньшую окружность в точке K
, а большую — в точке M
. Какие значения может принимать радиус окружности, касающейся прямых O_{1}K
и O_{2}M
, если \angle LMO_{2}=30^{\circ}
?
Ответ. 7,5 или 3.
Решение. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки L
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой.
Пусть окружности касаются внешним образом (рис. 1). Тогда точка L
лежит между точками O_{1}
и O_{2}
,
\angle LKO_{1}=\angle KLO_{1}=\angle MLO_{2}=\angle LMO_{2},
значит, O_{1}K\parallel O_{2}M
. Радиус окружности, касающейся параллельных прямых O_{1}K
и O_{2}M
, равен половине расстояния между ними. Пусть F
— проекция точки O_{1}
на прямую O_{2}M
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle O_{1}O_{2}F=\angle LMO_{2}+\angle MLO_{2}=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
O_{1}F=O_{1}O_{2}\sin60^{\circ}=(AO_{1}+AO_{2})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=(3\sqrt{3}+7\sqrt{3})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15.
Следовательно, искомый радиус равен \frac{15}{2}
.
Если окружности касаются внутренним образом (рис. 2), то аналогично находим, что
O_{1}F=O_{1}O_{2}\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}(AO_{2}-AO_{1})=(7\sqrt{3}-3\sqrt{3})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6.
Следовательно, искомый радиус равен 3.