5256. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
, причём AD=2BC
. На прямой CD
взята точка M
. Известно, что DM:MC=1:2
. В каком отношении прямая BM
делит площадь треугольника ACD
?
Ответ. 4:17
или 11:9
.
Решение. Пусть прямая BM
пересекает диагональ AC
трапеции в точке K
. Положим BC=2a
, AD=4a
.
Предположим, что точка M
лежит на отрезке CD
(рис. 1). Тогда прямая BM
пересекает продолжение основания AD
в некоторой точке E
. Из подобия треугольников BMC
и EMD
следует, что
DE=BC\cdot\frac{DM}{MC}=2a\cdot\frac{1}{2}=a,
а из подобия треугольников BKC
и EKA
—
\frac{CK}{KA}=\frac{BC}{AE}=\frac{2a}{4a+a}=\frac{2}{5},
поэтому
\frac{S_{\triangle CKM}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{CK}{CA}\cdot\frac{CM}{CD}=\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{21}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle CKM}}{S_{\triangle ACD}-S_{\triangle CKM}}=\frac{4}{17}.
Если же точка M
лежит на продолжении стороны CD
(рис. 2), то прямая BM
пересекает основание AD
в некоторой точке N
. Из подобия треугольников MND
и MBC
следует, что ND=\frac{MD}{MC}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot2a=a
, а из подобия треугольников BKC
и NKA
—
\frac{AK}{KC}=\frac{AN}{BC}=\frac{AD-ND}{BC}=\frac{4a-a}{2a}=\frac{3}{2},
поэтому
\frac{S_{\triangle AKN}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AK}{AC}\cdot\frac{AN}{AD}=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{20}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AKN}}{S_{CKND}}=\frac{S_{\triangle AKN}}{S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AKN}}=\frac{9}{11}.