5257. Дан параллелограмм ABCD
. На прямой BC
взята точка M
. Известно, что BM:MC=3:2
. В каком отношении прямая AM
делит площадь треугольника BDC
?
Ответ. 9:31
или 11:1
.
Решение. Пусть прямая AM
пересекает диагональ BD
параллелограмма в точке K
.
Предположим, что точка M
лежит на отрезке BC
(рис. 1). Из подобия треугольников AKD
и MKB
следует, что \frac{BK}{KD}=\frac{BM}{AD}=\frac{BM}{BC}=\frac{3}{5}
, значит,
\frac{S_{\triangle MKB}}{S_{\triangle BDC}}=\frac{BK}{BD}\cdot\frac{BM}{BC}=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{40}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle MKB}}{S_{\triangle BDC}-S_{\triangle MKB}}=\frac{9}{31}.
Если же точка M
лежит на продолжении стороны BC
(рис. 2), то прямая AM
пересекает сторону CD
в некоторой точке N
. Из подобия треугольников MCN
и ADN
следует, что \frac{CN}{ND}=\frac{CM}{AD}=\frac{CM}{BC}=2
, а из подобия треугольников AKD
и MKB
— \frac{DK}{KB}=\frac{AD}{BM}=\frac{BC}{BM}=\frac{1}{3}
, значит,
\frac{S_{\triangle DKN}}{S_{\triangle BDC}}=\frac{DN}{DC}\cdot\frac{DK}{DB}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle DKN}}{S_{BKNC}}=\frac{S_{\triangle DKN}}{S_{\triangle BDC}-S_{\triangle DKN}}=\frac{1}{11}.