5258. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
, причём AD=3BC
. На прямой AB
взята точка M
. Известно, что AM:MB=1:3
. В каком отношении прямая CM
делит площадь треугольника ABD
?
Ответ. 9:43
или 35:64
.
Решение. Пусть прямая AM
пересекает диагональ BD
трапеции в точке K
, а прямую AD
— в точке N
. Обозначим BC=a
. Тогда AD=3a
.
Предположим, что точка M
лежит на отрезке AB
(рис. 1). Из подобия треугольников AMN
и BMC
следует, что AN=BC\cdot\frac{AM}{MB}=a\cdot\frac{1}{3}=\frac{a}{3}
, а из подобия треугольников BKC
и DKN
— \frac{BK}{KD}=\frac{BC}{DN}=\frac{a}{\frac{a}{3}+3a}=\frac{3}{10}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle BKM}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{BK}{BD}\cdot\frac{BM}{AB}=\frac{3}{13}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{52},
\frac{S_{\triangle BKM}}{S_{\triangle ABD}-S_{\triangle BKM}}=\frac{9}{43}.
Пусть теперь точка M
лежит на продолжении стороны AB
(рис. 2). Из подобия треугольников AMN
и BMC
следует, что
AN=BC\cdot\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}\cdot a=\frac{a}{3},~DN=AD-AN=3a-\frac{1}{3}a=\frac{8}{3}a,
а из подобия треугольников BKC
и DKN
—
\frac{DK}{KB}=\frac{DN}{BC}=\frac{\frac{8}{3}a}{a}=\frac{8}{3}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle DKN}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{DN}{AD}\cdot\frac{DK}{DB}=\frac{\frac{8}{3}a}{3a}\cdot\frac{\frac{8}{3}a}{\frac{8}{3}a+a}=\frac{8}{9}\cdot\frac{8}{11}=\frac{64}{99},
\frac{S_{\triangle DKN}}{S_{ABKN}}=\frac{S_{\triangle DKN}}{S_{\triangle ABD}-S_{\triangle DKN}}=\frac{64}{35}.