5259. На стороне параллелограмма, равной 3\sqrt{2}
, как на диаметре построена окружность, которая проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и делит его соседнюю сторону точкой M
на отрезки, один из которых вдвое больше другого. Найдите расстояние от точки M
до точки пересечения диагоналей параллелограмма.
Ответ. \sqrt{6}
или \sqrt{3}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
, а окружность с диаметром AB=3\sqrt{2}
пересекает сторону BC
в точке M
, лежащей на стороне BC
.
Точка O
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AOB=90^{\circ}
, т. е. диагонали параллелограмма перпендикулярны. Следовательно, ABCD
— ромб со стороной 3\sqrt{2}
. Обозначим AO=OC=x
.
Предположим, что CM=2MB
(рис. 1). Тогда CM=\frac{2}{3}BC=2\sqrt{2}
. Из точки C
проведены к окружности секущие CMB
и COA
, значит, CO\cdot CA=CM\cdot CB
, или x\cdot2x=2\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}
, откуда находим, что x=\sqrt{6}
.
Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AMB=90^{\circ}
, значит, \angle AMC=90^{\circ}
. Отрезок MO
— медиана прямоугольного треугольника AMC
, проведённая из вершины прямого угла, следовательно, MO=\frac{1}{2}AC=OC=x=\sqrt{6}
.
Если же BM=2MC
(рис. 2), то CM=\frac{1}{3}BC=\sqrt{2}
и из уравнения x\cdot2x=\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}
получим, что x=\sqrt{3}
. Следовательно, MO=x=\sqrt{3}
.