5260. На стороне параллелограмма, равной 6\sqrt{2}
, как на диаметре построена окружность, которая проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и делит его соседнюю сторону точкой P
на отрезки, один из которых втрое больше другого. Найдите расстояние от точки P
до точки пересечения диагоналей параллелограмма.
Ответ. 3\sqrt{3}
или 3.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
, а окружность с диаметром AB=6\sqrt{2}
пересекает сторону BC
в точке P
, лежащей на стороне BC
.
Точка O
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AOB=90^{\circ}
, т. е. диагонали параллелограмма перпендикулярны. Следовательно, ABCD
— ромб со стороной 6\sqrt{2}
. Обозначим AO=OC=x
.
Предположим, что CP=3PB
(рис. 1). Тогда PC=\frac{3}{4}BC=\frac{9}{2}\sqrt{2}
. Из точки C
проведены к окружности секущие CPB
и COA
, значит, CO\cdot CA=CP\cdot CB
, или x\cdot2x=\frac{9}{2}\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}
, откуда находим, что x=3\sqrt{3}
.
Точка P
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle APB=90^{\circ}
, значит, \angle APC=90^{\circ}
. Отрезок PO
— медиана прямоугольного треугольника APC
, проведённая из вершины прямого угла, следовательно, PO=\frac{1}{2}AC=OC=x=3\sqrt{3}
.
Если же PB=3CP
(рис. 2), то CP=\frac{1}{4}BC=\frac{3}{2}\sqrt{2}
и из уравнения x\cdot2x=\frac{3}{2}\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}
получим, что x=3
. Следовательно, PO=x=3
.