5261. Общая касательная к окружностям радиусов 1 и 6 образует угол 30^{\circ}
с прямой, проходящей через центры окружностей. Прямая, проходящая через центр O
меньшей окружности, касается большей окружности в точке M
. Найдите OM
.
Ответ. 8
или 4\sqrt{10}
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр данной окружности радиуса 6, A
и B
— точки касания общей касательной с меньшей и большей окружностью соответственно, F
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
меньшей окружности на прямую O_{1}B
. Тогда OF\parallel AB
, поэтому
\angle FOO_{1}=30^{\circ},~BF=OA=1.
Предположим, что AB
— общая внешняя касательная данных окружностей, т. е. точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой OO_{1}
(рис. 1). Тогда
O_{1}F=O_{1}B-BF=6-1=5,~OO_{1}=2O_{1}F=10.
Следовательно,
OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}M^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
Если же AB
— общая внутренняя касательная, т. е. точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой OO_{1}
(рис. 2), то
O_{1}F=O_{1}B+BF=6+1=7,~OO_{1}=2O_{1}F=14.
Следовательно,
OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}M^{2}}=\sqrt{196-36}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.