5262. Общая касательная к окружностям радиусов 4 и 9 пересекается с прямой, проходящей через центры окружностей, под углом, синус которого равен \frac{1}{3}
. Прямая, проходящая через центр O
меньшей окружности, касается большей окружности в точке M
. Найдите OM
.
Ответ. 12
или 12\sqrt{10}
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр данной окружности радиуса 9, A
и B
— точки касания общей касательной с меньшей и большей окружностью соответственно, F
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
меньшей окружности на прямую O_{1}B
. Тогда OF\parallel AB
, поэтому
\sin\angle FOO_{1}=\frac{1}{3},~BF=OA=4.
Предположим, что AB
— общая внешняя касательная данных окружностей, т. е. точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой OO_{1}
(рис. 1). Тогда
O_{1}F=O_{1}B-BF=9-4=5,~OO_{1}=\frac{O_{1}F}{\sin\angle FOO_{1}}=\frac{5}{\frac{1}{3}}=15.
Следовательно,
OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}M^{2}}=\sqrt{225-81}=12.
Если же AB
— общая внутренняя касательная, т. е. точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой OO_{1}
(рис. 2), то
O_{1}F=O_{1}B+BF=9+4=13,~OO_{1}=3O_{1}F=39.
Следовательно,
OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}M^{2}}=\sqrt{39^{2}-9^{2}}=\sqrt{30\cdot48}=12\sqrt{10}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. —