5263. К окружности, описанной около треугольника ABC
, провели касательную в точке A
, а через вершину B
— прямую, параллельную касательной. Пусть D
— точка пересечения этой прямой с прямой AC
. Докажите, что AB^{2}=AD\cdot AC
.
Указание. Треугольники ABD
и ACB
подобны.
Решение. На проведённой касательной отметим точку P
, лежащую с вершиной C
по разные стороны от прямой AB
. Тогда \angle ABD=\angle BAP
. С другой стороны, из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BAP=\angle ACB
, поэтому \angle ABD=\angle ACB
. Значит, треугольники ABD
и ACB
подобны по двум углам (угол при вершине A
— общий). Тогда \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}
. Следовательно, AB^{2}=AD\cdot AC
. Что и требовалось доказать.