5264. Прямые, проходящие через точку P
, лежащую вне окружности с центром O
, касаются окружности в точках A
и B
. Из точки A
опущен перпендикуляр AC
на диаметр BD
. Докажите, что прямая PD
проходит через середину отрезка AC
.
Указание. Треугольник POB
подобен треугольнику ADC
, а треугольник DBP
— треугольнику DCE
(E
— середина AC
).
Решение. Точка A
лежит на окружности с диаметром BD
, поэтому AD\perp AB
, а так как PO\perp AB
, то AD\parallel PO
. Кроме того AC\parallel PB
, так как AC\perp BD
и PB\perp BD
. Значит, прямоугольные треугольники POB
и ADC
подобны, и \frac{OB}{BP}=\frac{CD}{AC}
.
Пусть E
— точка пересечения PD
и AC
. Прямоугольные треугольники DBP
и DCE
также подобны, поэтому \frac{BP}{BD}=\frac{CE}{CD}
. Перемножив эти два равенства, получим, что
\frac{CE}{AC}=\frac{OB}{BD}=\frac{1}{2}.
Следовательно, E
— середина отрезка AC
. Что и требовалось доказать.