5267. Пусть I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника, r
и R
— их радиусы. Прямая OI
пересекает описанную окружность в точках P
и Q
. Докажите, что IP\cdot IQ=2rR
.
Указание. Через вершину A
треугольника ABC
и точку I
проведите прямую, вторично пересекающую описанную окружность треугольника в точке A_{1}
. Тогда IA_{1}=BA_{1}
(см. задачу 788).
Решение. Через вершину A
треугольника ABC
и точку I
проведём прямую, вторично пересекающую описанную окружность треугольника в точке A_{1}
. Тогда IA_{1}=BA_{1}
(см. задачу 788). Обозначим \angle BAC=\alpha
. По теореме синусов
BA_{1}=2R\sin\frac{\alpha}{2}.
Пусть K
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
. Из прямоугольного треугольника AKI
находим, что
AI=\frac{IK}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
По теореме об отрезках пересекающихся хорд
IP\cdot IQ=AI\cdot IA_{1}=AI\cdot BA_{1}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot2R\sin\frac{\alpha}{2}=2rR.
Что и требовалось доказать.