5269. Диагонали трапеции перпендикулярны. Основания её равны a
и b
, а площадь равна S
. Докажите, что S\lt\frac{a^{2}+b^{2}}{2}
.
Указание. Через вершину B
трапеции ABCD
проведите прямую, параллельную диагонали AC
. Пусть E
— точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD
. Тогда площадь трапеции равна площади прямоугольного треугольника DBE
.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с основаниями AD=a
, BC=b
и площадью S
.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную диагонали AC
. Пусть E
— точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD
, BH
— высота прямоугольного треугольника DBE
, BM
— его медиана. Тогда
S=S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{AD+AE}{2}\cdot BH=
=\frac{1}{2}DE\cdot BH\leqslant\frac{1}{2}DE\cdot BM=\frac{1}{2}DE\cdot\frac{1}{2}DE=
=\left(\frac{1}{2}(a+b)\right)^{2}\leqslant\left(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2},
а так как a\ne b
, то S\lt\frac{a^{2}+b^{2}}{2}
.