5274. Внутри острого угла дана точка, расстояния от которой до сторон и вершины угла пропорциональны числам 2, 11, 14. Найдите величину угла.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Пусть B
и C
— проекции точки M
, расположенной внутри острого угла BAC
, на его стороны, причём MC=2t
, MB=11t
, MA=14t
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BMC=180^{\circ}-\alpha
. Из прямоугольных треугольников ABM
и ACM
находим, что
AB=\sqrt{MA^{2}-MB^{2}}=\sqrt{196t^{2}-121t^{2}}=5t\sqrt{3},
AC=\sqrt{MA^{2}-MC^{2}}=\sqrt{196t^{2}-4t^{2}}=8t\sqrt{3}.
По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha=
=75t^{2}+192t^{2}-2\cdot5t\sqrt{3}\cdot8t\sqrt{3}\cos\alpha=267t^{2}-240t^{2}\cos\alpha,
BC^{2}=MB^{2}+MC^{2}-2MB\cdot MC\cos(180^{\circ}-\alpha)=
=121t^{2}+4t^{2}+2\cdot11t\cdot2\cos\alpha=125t^{2}+44t^{2}\cos\alpha,
Из равенства
125t^{2}+44t^{2}\cos\alpha=267t^{2}-240t^{2}\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{1}{2}
. Следовательно, \angle ABC=\alpha=60^{\circ}
.