5278. Диаметры AB
и CD
окружности перпендикулярны. Хорда AE
пересекает диаметр CD
в точке K
, причём CK:KD=2:1
. В каком отношении хорда CE
делит диаметр AB
?
Ответ. 1:3
.
Указание. Примените формулу \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}
.
Решение. Обозначим \angle BAE=\alpha
, \angle DCE=\beta
. Тогда \alpha+\beta=45^{\circ}
, так как сумма вписанных углов BAE
и DCE
равна половине дуги BED
, равной 90^{\circ}
.
Пусть O
— центр окружности. Положим CK=4t
, KD=2
. Тогда
AB=CD=6t,~OA=OD=3t,~OK=OD-KD=3t-2t=t.
Из прямоугольного треугольника AOK
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle OAK=\frac{OK}{OA}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3}.
Значит,
1=\tg45^{\circ}=\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}=\frac{\frac{1}{3}+\tg\beta}{1-\frac{1}{3}\tg\beta}.
Отсюда находим, что \tg\beta=\frac{1}{2}
.
Пусть хорда CE
пересекает диаметр AB
в точке L
. Из прямоугольного треугольника COL
находим, что
OL=OC\tg\beta=3t\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}t.
Тогда
BL=OB-OL=3t-\frac{3}{2}t=\frac{3}{2}t,~AL=AB-BL=6t-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}t.
Следовательно,
\frac{BL}{AL}=\frac{\frac{3}{2}t}{\frac{9}{2}t}=\frac{1}{3}.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 60, с. 14