5279. В окружность вписан квадрат ABCD
. Хорда AE
проходит через середину M
его стороны CD
. В каком отношении хорда BE
делит сторону CD
?
Ответ. 1:2
.
Указание. Примените формулу \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}
.
Решение. Пусть хорда BE
пересекает хорду CD
в точке L
. Обозначим \angle AMD=\angle BAE=\alpha
, \angle BLC=\angle ABE=\beta
. Тогда
\alpha+\beta=180^{\circ}-\angle AEB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника AMD
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle AMD=\frac{AD}{MD}=2.
Значит,
-1=\tg135^{\circ}=\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}=\frac{2+\tg\beta}{1-2\tg\beta}.
. Отсюда находим, что \tg\beta=3
. Значит,
\frac{CL}{CD}=\frac{CL}{BC}=\ctg\beta=\frac{1}{3}.
Следовательно, \frac{CL}{LD}=\frac{1}{2}
.