5280. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите острые углы треугольника, если гипотенуза делится точкой касания окружности в отношении 2:3
.
Ответ. \arctg\frac{3}{4}
, \arctg\frac{4}{3}
.
Решение. Пусть окружность с центром O
радиуса r
, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
, касается гипотенузы AB
в точке M
, а катетов AC
и BC
— в точках K
и L
соответственно. Положим AM=2x
, BM=3x
. Тогда AK=AM=2x
и BL=BM=3x
, а так как CKOL
— квадрат, то CK=CL=r
.
По теореме Пифагора AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}
, или
(2x+r)^{2}+(3x+r)^{2}=5x^{2},~r^{2}+5rx-6x^{2}=0.
Отсюда находим, что r=x
. Значит, AC=2x+r=3x
, BC=3x+r=4x
. Следовательно,
\tg\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4},~\tg\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}.