5282. Окружность, построенная на высоте CD
прямоугольного треугольника ABC
как на диаметре, пересекает его катеты AC
и BC
соответственно в точках M
и N
. Площадь треугольника CMN
составляет \frac{1}{8}
площади данного треугольника. Найдите острые углы треугольника ABC
.
Ответ. 22{,}5^{\circ}
, 67{,}5^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle CNM=\angle BAC=\alpha
, CD=h
. Из прямоугольных треугольников CMD
и CND
находим, что CM=h\sin\alpha
, CN=h\cos\alpha
. Тогда
S_{\triangle CMN}=\frac{1}{2}CM\cdot CN=\frac{1}{2}h^{2}\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}h^{2}\sin2\alpha.
Из прямоугольных треугольников ACD
и BCD
находим, что
AC=\frac{h}{\sin\alpha},~BC=\frac{h}{\cos\alpha},
поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{h^{2}}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{h^{2}}{\sin2\alpha},
а так как S_{\triangle CMN}=\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}
, то
\frac{1}{4}h^{2}\sin2\alpha=\frac{1}{8}\cdot\frac{h^{2}}{\sin2\alpha},
или \sin^{2}2\alpha=\frac{1}{2}
. Отсюда находим, что 2\alpha=45^{\circ}
или 2\alpha=135^{\circ}
. Значит, \alpha=22{,}5^{\circ}
или \alpha=67{,}5^{\circ}
. Следовательно, \angle BAC=\alpha=22{,}5^{\circ}
и \angle ABC=67{,}5^{\circ}
или \angle BAC=67{,}5^{\circ}
и \angle ABC=22{,}5^{\circ}
.