5285. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки M
, взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд постоянна.
Указание. Примените метод координат.
Решение. Пусть AB=2R
— диаметр окружности с центром O
, CD
— произвольная хорда, параллельная AB
.
Рассмотрим систему координат с началом в точке O
. Ось Ox
направим по лучу OA
, ось Oy
— по лучу, перпендикулярному AB
. Если точка C
имеет координаты (x;y)
, то точка D
— (-x;y)
. Эти точки лежат на окружности с центром O
радиуса R
, поэтому x^{2}+y^{2}=R^{2}
.
Координаты точки A
— (R;0)
, а точки B
— (-R;0)
.
Пусть (d;0)
— координаты точки M
. Применив формулу расстояния между двумя точками, получим, что
MC^{2}+MD^{2}=(x-d)^{2}+y^{2}+(x+d)^{2}+y^{2}=2(x^{2}+y^{2})+2d^{2}=2R^{2}+2d^{2}.
Следовательно, сумма квадратов указанных расстояний зависит только от радиуса окружности и положения точки M
на диаметре и не зависит от хорды, параллельной диаметру.