5286. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу его описанной окружности равно 4:9
.
Ответ. \arccos\frac{1}{3}
или \arccos\frac{2}{3}
.
Указание. Выразите радиусы окружностей через основание треугольника и угол при основании.
Решение. Обозначим основание BC
равнобедренного треугольника ABC
через a
, радиусы вписанной и описанной окружностей — r
и R
соответственно, центр вписанной окружности — O
, середину BC
— M
. Тогда
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{a}{2\sin(180^{\circ}-2\varphi)}=\frac{a}{2\sin2\varphi},
r=OM=BM\tg\frac{1}{2}\angle B=\frac{a}{2}\tg\frac{\varphi}{2}.
Следовательно,
\tg\frac{\varphi}{2}\sin2\varphi=\frac{r}{R}=\frac{4}{9},
или
\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}\cdot2\sin\varphi\cos\varphi=\frac{4}{9},~\frac{\sin^{2}\varphi\cos\varphi}{1+\cos\varphi}=\frac{2}{9},~\frac{(1-\cos^{2}\varphi)\cos\varphi}{1+\cos\varphi}=\frac{2}{9},~
(1-\cos\varphi)\cos\varphi=\frac{2}{9},~9\cos^{2}\varphi-9\cos^{2}\varphi+2=0.
Отсюда находим, что \cos\varphi=\frac{1}{3}
или \cos\varphi=\frac{2}{3}
.